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De acuerdo con el Diccionario de la lengua española, a punto de, en tres palabras y seguida de infinitivo, y no apunto de, indica que una acción va a realizarse inmediatamente o que iba a realizarse, pero se vio interrumpida por alguna razón. Se recomienda no utilizar la expresión apunto de.

Veámoslo con unos ejemplos:

Uso inadecuado:
Ahora, apunto de empezar un nuevo proyecto, decidí dejar los vicios.
Uso adecuado:
Ahora, a punto de empezar en un nuevo proyecto, decidí dejar los vicios.

Uso inadecuado:
Estuve apunto de dejarlos escapar, pero me contuve y todo terminó bien.
Uso adecuado:
Estuve a punto de dejarlos escapar, pero me contuve y todo terminó bien.