Recibimos de Fundéu las importantes advertencias que les transmitimos, luego de adaptarlas a nuestras necesidades.

El adjetivo relativo posesivo cuyo designa el poseedor de aquello a lo que se refiere el sustantivo al que modifica, con el que concuerda en género y número. De acuerdo con la Nueva gramática de la lengua española, en el habla culta conviene evitar la construcción que su —que algunos lingüistas denominan quesuismo— para reemplazar cuyo, un uso frecuente en la lengua oral de muchos países hispanohablantes y también en el uso informal de la lengua escrita.

Veámoslo con unos ejemplos:

Incorrecto:
Para el premio se buscó a un artista que su obra fuera conocida más allá de nuestras fronteras.
Correcto:
Para el premio se buscó a un artista cuya obra fuera conocida más allá de nuestras fronteras.

Incorrecto:
Este juicio, que honestamente no entiendo su fundamento, solo busca desacreditarme ante el electorado.
Correcto:
Este juicio, cuyo fundamento honestamente no entiendo, solo busca desacreditarme ante el electorado.

Hay que tener en cuenta que la combinación «que su» es correcta en casos como «Consideró que su estado de salud no le permitiría participar en el partido», en los que el que introduce una subordinada sustantiva con función de complemento directo y va seguido del posesivo su.