Recibimos de Fundéu las importantes advertencias que les transmitimos, luego de adaptarlas a nuestras necesidades.

Con que

Esta secuencia está constituida por la preposición con y el relativo que: «Esa es la fuerza con que juega mi equipo». En estos casos también se puede intercalar el artículo entre la preposición con y el relativo que: «Esa es la fuerza con la que juega mi equipo».

No se intercala ningún artículo cuando que no equivale a cual, sino que funciona como conjunción, como en «Para llevar a cabo la reunión basta con que decidamos la hora».

La locución con que puede reemplazarse por con el cual, con la cual y sus plurales

Con qué

Esta forma está constituida por la preposición con y el interrogativo o exclamativo qué (este qué siempre es tónico y lleva tilde). Puede aparecer tanto en oraciones interrogativas o exclamativas directas («¿Con qué rompiste la ventana?», «¿Con qué votos contamos para la elección?» o «¡Con qué paciencia te amé!») como en oraciones interrogativas o exclamativas indirectas («No sé con qué rompiste la ventana» o «Hay que ver con qué paciencia te amé»).

Obsérvese que en las oraciones interrogativas o exclamativas indirectas no aparecen los signos de interrogación o exclamación, frente a lo que ocurre con las oraciones interrogativas o exclamativas directas.

Conque

Es una conjunción ilativa y es palabra átona. Equivale a así que, por tanto, por consiguiente, pues expresa consecuencia: «Los directivos tomaron una decisión; conque ahora estaremos más tranquilos».